Différence Entre La Moyenne Mobile Et Le Modèle Autorégressif

Quelles sont les relations et les différences entre les séries chronologiques et la régression Pour les modèles et les hypothèses. Est-il correct que les modèles de régression supposent l'indépendance entre les variables de sortie pour différentes valeurs de la variable d'entrée, tandis que le modèle de série chronologique ne fait pas? Quelles sont quelques autres différences Il existe un certain nombre d'approches à l'analyse des séries chronologiques, La méthode de régression et la méthode Box-Jenkins (1976) ou ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average). Ce document introduit la méthode de régression. Je considère la méthode de régression très supérieure à ARIMA pour trois raisons principales, je ne comprends pas très bien ce que la méthode de régression pour les séries chronologiques est sur le site, et comment il est différent de la méthode Box-Jenkins ou ARIMA. J'apprécie que quelqu'un puisse donner un aperçu de ces questions. Merci et salutations Je pense vraiment que c'est une bonne question et mérite une réponse. Le lien fourni est écrit par un psychologue qui prétend que certains home-brew méthode est une meilleure façon de faire des séries chronologiques analyse que Box-Jenkins. J'espère que ma tentative de réponse encouragera les autres, qui connaissent mieux les séries chronologiques, à contribuer. De son introduction, il semble que Darlington est champion de l'approche de juste montage d'un modèle AR par les moindres carrés. C'est-à-dire que si vous voulez adapter le modèle zt alpha1 z cdots alphak z varepsilont à la série temporelle zt, vous pouvez simplement régresser la série zt sur la série avec lag 1, lag 2, et ainsi de suite jusqu'à lag k, en utilisant un Régression multiple ordinaire. Cela est certainement permis dans R, son même une option dans la fonction ar. Je l'ai testé dehors, et il tend à donner des réponses semblables à la méthode par défaut pour adapter un modèle d'AR dans R. Il préconise également la régression de zt sur des choses comme t ou des puissances de t pour trouver des tendances. Encore une fois, c'est absolument parfait. Beaucoup de livres de séries chronologiques parlent de cela, par exemple Shumway-Stoffer et Cowpertwait-Metcalfe. En règle générale, une analyse de séries chronologiques peut se dérouler comme suit: vous trouvez une tendance, retirez-la, puis ajustez un modèle aux résidus. Mais il semble aussi qu'il préconise un ajustement excessif, puis en utilisant la réduction de l'erreur quadratique moyenne entre les séries ajustées et les données comme preuve que sa méthode est meilleure. Par exemple: Je sens que les corrélogrammes sont maintenant obsolètes. Leur but principal était de permettre aux travailleurs de deviner quels modèles s'adapteraient mieux aux données, mais la vitesse des ordinateurs modernes (au moins dans la régression si ce n'est dans le modèle de montage en série) permet à un travailleur de simplement ajuster plusieurs modèles et de voir exactement comment Chacune correspond à l'erreur quadratique moyenne. La question de la capitalisation sur le hasard n'est pas pertinente pour ce choix, puisque les deux méthodes sont également sensibles à ce problème. Ce n'est pas une bonne idée parce que le test d'un modèle est censé être à quel point il peut prévoir, et non pas comment il correspond aux données existantes. Dans ses trois exemples, il utilise l'erreur quadratique moyenne ajustée comme critère pour la qualité de l'ajustement. Bien sûr, l'ajustement d'un modèle va rendre une estimation de l'échantillon inférieure à l'erreur, donc sa prétention que ses modèles sont meilleurs parce qu'ils ont un RMSE plus faible est faux. En bref, puisqu'il utilise le mauvais critère pour évaluer la qualité d'un modèle, il arrive à des conclusions erronées au sujet de la régression contre ARIMA. Id parier que, s'il avait testé la capacité prédictive des modèles à la place, ARIMA serait sorti sur le dessus. Peut-être quelqu'un peut-il essayer si ils ont accès aux livres qu'il mentionne ici. Supplémentaire: pour en savoir plus sur l'idée de régression, vous voudrez peut-être consulter des livres de séries chronologiques plus anciennes qui ont été écrits avant que ARIMA devienne le plus populaire. Par exemple, Kendall, Time-Series. 1973, chapitre 11 a un chapitre entier sur cette méthode et les comparaisons à ARIMA. Autant que je sache, l'auteur n'a jamais décrit sa méthode de brassage à la maison dans une publication revue par les pairs et les références à la littérature statistique et à celles-ci semblent minimes et ses principales publications sur les sujets méthodologiques remontent aux années 70. À strictement parler, rien de tout cela prouve quoi que ce soit, mais sans suffisamment de temps ou d'expertise pour évaluer les revendications moi-même, je serais extrêmement réticents à utiliser tout cela. Ndash Gala Jul 18 13 at 11: 31Identifier le nombre de termes AR ou MA dans un ARIMA modèle ACF et PACF parcelles: Après une série chronologique a été stationnaire par différenciation, la prochaine étape dans l'ajustement d'un modèle ARIMA est de déterminer si AR ou MA Sont nécessaires pour corriger toute autocorrélation qui reste dans la série différenciée. Bien sûr, avec des logiciels comme Statgraphics, vous pouvez simplement essayer différentes combinaisons de termes et voir ce qui fonctionne le mieux. Mais il existe un moyen plus systématique de le faire. En examinant les diagrammes de la fonction d'autocorrélation (ACF) et de l'autocorrélation partielle (PACF) des séries différenciées, vous pouvez tentativement identifier le nombre de termes AR et / ou MA qui sont nécessaires. Vous êtes déjà familiarisé avec la trame ACF: il s'agit simplement d'un diagramme à barres des coefficients de corrélation entre une série chronologique et des décalages de lui-même. Le tracé PACF est une courbe des coefficients de corrélation partielle entre les séries et les décalages de lui-même. En général, la corrélation quotpartiale entre deux variables est la quantité de corrélation entre elles qui n'est pas expliquée par leurs corrélations mutuelles avec un ensemble spécifié d'autres variables. Par exemple, si l'on fait régresser une variable Y sur d'autres variables X1, X2 et X3, la corrélation partielle entre Y et X3 est la quantité de corrélation entre Y et X3 qui n'est pas expliquée par leurs corrélations communes avec X1 et X2. Cette corrélation partielle peut être calculée comme la racine carrée de la réduction de variance obtenue en ajoutant X3 à la régression de Y sur X1 et X2. Une auto-corrélation partielle est la quantité de corrélation entre une variable et un retard de lui-même qui n'est pas expliqué par des corrélations à tous les bas-ordre-lags. L'autocorrélation d'une série temporelle Y au retard 1 est le coefficient de corrélation entre Y t et Y t-1. Qui est vraisemblablement aussi la corrélation entre Y t -1 et Y t -2. Mais si Y t est corrélée avec Y t -1. Et Y t -1 est également corrélé avec Y t -2. Alors nous devrions aussi nous attendre à trouver une corrélation entre Y t et Y t-2. En fait, la quantité de corrélation que nous devrions nous attendre au lag 2 est précisément le carré de la corrélation lag-1. Ainsi, la corrélation au décalage 1 est quoti - dienne du retard 2 et, vraisemblablement, du retard supérieur. L'autocorrélation partielle au retard 2 est donc la différence entre la corrélation réelle au décalage 2 et la corrélation attendue due à la propagation de la corrélation au décalage 1. Voici la fonction d'autocorrélation (ACF) de la série UNITS avant toute différenciation: Les autocorrélations sont significatives pour un grand nombre de décalages - mais peut-être que les autocorrélations au retard 2 et au-dessus sont simplement dues à la propagation de l'autocorrélation au décalage 1. Ceci est confirmé par le tracé PACF: Spike seulement au lag 1, ce qui signifie que toutes les autocorrélations d'ordre supérieur sont effectivement expliqués par l'autocorrélation lag-1. Les autocorrélations partielles à tous les décalages peuvent être calculées en ajustant une succession de modèles autorégressifs avec un nombre croissant de décalages. En particulier, l'autocorrélation partielle au décalage k est égale au coefficient AR (k) estimé dans un modèle autorégressif avec k termes - c'est-à-dire. Un modèle de régression multiple dans lequel Y est régressé sur GAL (Y, 1), GAL (Y, 2), etc. jusqu'à GAL (Y, k). Ainsi, par simple inspection du PACF, vous pouvez déterminer le nombre de termes AR que vous devez utiliser pour expliquer le modèle d'autocorrélation dans une série temporelle: si l'autocorrélation partielle est significative au décalage k et non significative à tout retard d'ordre supérieur, c'est-à-dire. Si le PACF quotcuts offquot au décalage k - alors cela suggère que vous devriez essayer d'adapter un modèle autorégressif d'ordre k Le PACF de la série UNITS fournit un exemple extrême du phénomène de coupure: il a un très grand pic au retard de 1 Et aucun autre pic significatif, indiquant qu'en l'absence de différenciation, un modèle AR (1) devrait être utilisé. Cependant, le terme AR (1) dans ce modèle s'avérera équivalent à une première différence, car le coefficient AR (1) estimé (qui est la hauteur du pic PACF au décalage 1) sera presque exactement égal à 1 L'équation de prévision pour un modèle AR (1) pour une série Y sans ordres de différenciation est: Si le coefficient d'AR (1) 981 1 dans cette équation est égal à 1, il équivaut à prédire que la première différence De Y est constante - ie Il équivaut à l'équation du modèle de marche aléatoire avec croissance: Le PACF de la série UNITS nous dit que, si nous ne la différence, alors nous devrions adapter un modèle AR (1) qui se révèlera être équivalent à la prise Une première différence. En d'autres termes, il nous dit que UNITS a vraiment besoin d'un ordre de différenciation pour être stationnaire. Signatures AR et MA: Si le PACF affiche une coupure brusque alors que l'ACF décroît plus lentement (c'est-à-dire a des pointes significatives à des décalages plus élevés), on dit que la série stationarisée affiche une signature quotAR, signifiant que le motif d'autocorrélation peut être expliqué plus facilement En ajoutant des termes AR plutôt qu'en ajoutant des termes MA. Vous constaterez probablement qu'une signature AR est couramment associée à une autocorrélation positive au décalage 1 - c'est-à-dire. Il tend à se poser en série qui sont légèrement sous-différenciés. La raison en est qu'un terme AR peut agir comme une différence quotpartiale dans l'équation de prévision. Par exemple, dans un modèle AR (1), le terme AR agit comme une première différence si le coefficient autorégressif est égal à 1, il ne fait rien si le coefficient autorégressif est nul et il agit comme une différence partielle si le coefficient est entre 0 et 1. Ainsi, si la série est légèrement sous-différenciée - ie Si le modèle non stationnaire d'autocorrélation positive n'a pas été complètement éliminé, il fera des quotas pour une différence partielle en affichant une signature AR. Par conséquent, nous avons la règle empirique suivante pour déterminer quand ajouter des termes AR: Règle 6: Si le PACF de la série différenciée affiche une coupure aiguë et / ou l'autocorrélation lag-1 est positive - ie. Si la série apparaît légèrement quotunderdifferencedquot - alors envisager d'ajouter un terme AR pour le modèle. Le décalage auquel le PACF coupe est le nombre indiqué de termes AR. En principe, tout modèle d'autocorrélation peut être supprimé d'une série stationnaire en ajoutant suffisamment de termes autorégressifs (décalages de la série stationnaire) à l'équation de prévision, et le PACF indique combien de tels termes sont vraisemblablement nécessaires. Cependant, ce n'est pas toujours la manière la plus simple d'expliquer un modèle donné d'autocorrélation: il est parfois plus efficace d'ajouter des termes MA (retards des erreurs de prévision). La fonction d'autocorrélation (ACF) joue le même rôle pour les termes MA que le PACF joue pour les termes AR - c'est-à-dire que l'ACF vous indique combien de termes MA sont susceptibles d'être nécessaires pour supprimer l'autocorrélation restante de la série différenciée. Si l'autocorrélation est significative au décalage k mais pas à des décalages plus élevés, c'est-à-dire. Si l'ACF quotcuts offquot à lag k - cela indique que k termes exactement k MA doit être utilisé dans l'équation de prévision. Dans ce dernier cas, nous disons que la série stationnaire présente une signature quotMA, ce qui signifie que le modèle d'autocorrélation peut être expliqué plus facilement en ajoutant des termes MA que par l'ajout de termes AR. Une signature MA est couramment associée à une autocorrélation négative au décalage 1 - c'est-à-dire. Il tend à se poser en série qui sont légèrement plus différenciés. La raison pour cela est qu'un terme MA peut quotparlement annuler un ordre de différenciation dans l'équation de prévision. Pour le voir, rappelez-vous qu'un modèle ARIMA (0,1,1) sans constante est équivalent à un modèle Simple Exponential Smoothing. L'équation de prévision pour ce modèle est celle où le coefficient MA (1) 952 1 correspond à la quantité 1 - 945 dans le modèle SES. Si 952 1 est égal à 1, ceci correspond à un modèle SES avec 945 0, qui est juste un modèle CONSTANT parce que la prévision n'est jamais mise à jour. Cela signifie que lorsque 952 1 est égal à 1, il est effectivement annuler l'opération de différenciation qui permet habituellement à la prévision SES de se ré-ancrer sur la dernière observation. D'autre part, si le coefficient de la moyenne mobile est égal à 0, ce modèle se réduit à un modèle de marche aléatoire - c'est-à-dire. Il laisse l'opération de différenciation seule. Donc, si 952 1 est quelque chose de plus grand que 0, c'est comme si nous annulions partiellement un ordre de différenciation. Si la série est déjà légèrement sur-différenciée - c'est-à-dire. Si l'autocorrélation négative a été introduite - alors il sera quotask pourquot une différence d'être partiellement annulée par l'affichage d'une signature MA. (Il y a beaucoup de bruits de bras ici.) Une explication plus rigoureuse de cet effet se trouve dans le document de la Structure mathématique des modèles ARIMA.) D'où la règle supplémentaire suivante: Règle 7: Si l'ACF de la série différenciée affiche un La coupure aiguë et / ou l'autocorrélation de lag-1 est négative. Si la série apparaît légèrement quotoverdifferencedquot - alors envisager d'ajouter un terme MA pour le modèle. Le décalage auquel l'ACF coupe le nombre indiqué de termes MA. Un modèle pour la série UNITS - ARIMA (2,1,0): Nous avons précédemment déterminé que la série UNITS avait besoin (au moins) d'un ordre de différenciation non saisonnière pour être stationnaire. Après avoir pris une différence non saisonnière - c'est-à-dire. (A) la corrélation au décalage 1 est significative et positive, et (b) le PACF montre un quotcutoff plus net que L'ACF. En particulier, le PACF n'a que deux pointes significatives, alors que le FCA en compte quatre. Ainsi, selon la règle 7 ci-dessus, la série différenciée affiche une signature AR (2). Si l'on fixe ainsi l'ordre du terme AR à 2 - i. e. Un modèle ARIMA (2,1,0) - on obtient les parcelles ACF et PACF suivantes pour les résidus: L'autocorrélation aux décalages cruciaux - à savoir les retards 1 et 2 - a été éliminée et il n'y a pas de modèle discernable Dans des décalages d'ordre supérieur. Le schéma chronologique des résidus montre une tendance légèrement inquiétante à s'éloigner de la moyenne: Cependant, le rapport de synthèse d'analyse montre que le modèle fonctionne néanmoins assez bien au cours de la période de validation, les deux coefficients AR sont significativement différents de zéro et la norme L'écart des résidus a été réduit de 1,54371 à 1,4215 (près de 10) par l'addition des termes AR. De plus, il n'y a pas de signe de racine quotunit parce que la somme des coefficients AR (0.2522540.195572) n'est pas proche de 1. (Les racines unitaires sont discutées plus en détail ci-dessous). Dans l'ensemble, cela semble être un bon modèle . Les prévisions (non transformées) pour le modèle montrent une tendance linéaire à la hausse projetée dans le futur: La tendance des prévisions à long terme est due au fait que le modèle inclut une différence non saisonnière et un terme constant: ce modèle est fondamentalement une marche aléatoire avec Croissance plus fine par l'ajout de deux termes autorégressifs - c'est-à-dire Deux décalages de la série différenciée. La pente des prévisions à long terme (c'est-à-dire l'augmentation moyenne d'une période à l'autre) est égale au terme moyen dans le résumé du modèle (0,467566). L'équation de prévision est: où 956 est le terme constant dans le résumé du modèle (0.258178), 981 1 est le coefficient AR (1) (0.25224) et 981 2 le coefficient AR (2) (0.195572). Moyenne versus constante: En général, le terme quotmeanquot dans la sortie d'un modèle ARIMA se réfère à la moyenne des séries différenciées (c'est-à-dire la tendance moyenne si l'ordre de différenciation est égal à 1), tandis que le quotconstant est le terme constant qui apparaît Sur le côté droit de l'équation de prévision. Les termes moyens et constants sont liés par l'équation: CONSTANT MEAN (1 moins la somme des coefficients AR). Dans ce cas, nous avons 0.258178 0.467566 (1 - 0.25224 - 0.195572) Modèle alternatif pour la série UNITS - ARIMA (0,2,1): Rappelons que lorsque nous avons commencé à analyser la série UNITS, nous n'étions pas entièrement sûrs de la Ordre correct de différenciation à utiliser. Un ordre de différenciation non saisonnière a donné l'écart type le plus bas (et un modèle d'autocorrélation positive douce), tandis que deux ordres de différenciation non saisonnière ont donné un graphique de séries chronologiques plus stationnaires (mais avec une forte autocorrélation négative). Voici l'ACF et le PACF de la série avec deux différences non saisonnières: La seule pointe négative au décalage 1 dans l'ACF est une signature MA (1), conformément à la Règle 8 ci-dessus. Ainsi, si nous utilisions 2 différences non saisonnières, nous voudrions également inclure un terme MA (1), produisant un modèle ARIMA (0,2,1). Selon la règle 5, nous voudrions également supprimer le terme constant. On notera que l'écart-type de bruit blanc estimé (RMSE) est seulement très légèrement plus élevé pour ce modèle que le précédent (1,46301 ici par rapport à 1,45215 auparavant). L'équation de prévision pour ce modèle est: où theta-1 est le coefficient MA (1). Rappelons que ceci est semblable à un modèle Linear Exponential Smoothing, avec le coefficient MA (1) correspondant à la quantité 2 (1-alpha) dans le modèle LES. Le coefficient de MA (1) de 0,76 dans ce modèle suggère qu'un modèle de LES avec l'alpha dans le voisinage de 0,72 serait à peu près aussi bien. En fait, lorsqu'un modèle ERP est adapté aux mêmes données, la valeur optimale de l'alpha s'établit autour de 0,61, ce qui n'est pas trop loin. Voici un rapport de comparaison de modèles qui montre les résultats de l'ajustement du modèle ARIMA (2,1,0) avec constante, du modèle ARIMA (0,2,1) sans constante, et du modèle LES: Les trois modèles sont pratiquement identiques La période d'estimation, et le modèle ARIMA (2,1,0) avec constante apparaît légèrement meilleur que les deux autres dans la période de validation. Sur la seule base de ces résultats statistiques, il serait difficile de choisir parmi les trois modèles. Cependant, si nous traçons les prévisions à long terme du modèle ARIMA (0,2,1) sans constante (qui sont essentiellement les mêmes que celles du modèle LES), nous voyons une différence significative par rapport au modèle précédent: Les prévisions affichent une tendance à la hausse moins forte que celle du modèle précédent, car la tendance locale vers la fin de la série est légèrement inférieure à la tendance moyenne sur toute la série, mais les intervalles de confiance augmentent beaucoup plus rapidement. Le modèle avec deux ordres de différenciation suppose que la tendance dans la série est variable dans le temps, donc il considère l'avenir lointain pour être beaucoup plus incertain que le modèle avec un seul ordre de différenciation. Quel modèle choisir? Cela dépend des hypothèses que nous sommes à l'aise de faire en ce qui concerne la constance de la tendance dans les données. Le modèle avec un seul ordre de différenciation suppose une tendance moyenne constante - il s'agit essentiellement d'un modèle de randonnée aléatoire fin avec croissance - et il fait donc des projections de tendance relativement conservatrice. Il est également assez optimiste quant à l'exactitude avec laquelle il peut prévoir plus d'une période à venir. Le modèle avec deux ordres de différenciation suppose une tendance locale variable dans le temps - il s'agit essentiellement d'un modèle de lissage exponentiel linéaire - et ses projections de tendance sont un peu plus volage. En règle générale, dans ce genre de situation, je recommande de choisir le modèle avec l'ordre inférieur de différenciation, d'autres choses étant à peu près égales. En pratique, les modèles aléatoire ou simple-exponentiel-lissage semblent souvent mieux fonctionner que les modèles de lissage exponentiel linéaire. Modèles mixtes: Dans la plupart des cas, le meilleur modèle résulte d'un modèle qui utilise soit des termes AR ou seulement des termes MA, bien que dans certains cas un modèle quotmixedquot avec des termes AR et MA puisse fournir le meilleur ajustement aux données. Cependant, il faut faire preuve de prudence lors de l'installation de modèles mixtes. Il est possible pour un terme AR et un terme MA d'annuler les effets des autres. Même si les deux peuvent paraître significatifs dans le modèle (comme le jugent les statistiques t de leurs coefficients). Ainsi, supposons, par exemple, que le modèle quotcorrectquot pour une série temporelle soit un modèle ARIMA (0,1,1), mais plutôt un modèle ARIMA (1,1,2) - c'est-à-dire. Vous incluez un terme AR supplémentaire et un terme MA supplémentaire. Ensuite, les termes supplémentaires peuvent finir par apparaître significative dans le modèle, mais en interne, ils peuvent être simplement travailler les uns contre les autres. Les estimations de paramètres résultantes peuvent être ambiguës, et le processus d'estimation de paramètre peut prendre de très nombreuses (par exemple plus de 10) itérations à converger. Par conséquent: Règle 8: Il est possible pour un terme AR et un terme MA d'annuler les autres effets, donc si un modèle mixte AR-MA semble correspondre aux données, essayez aussi un modèle avec un AR moins terme et un moins MA terme - en particulier si les estimations de paramètres dans le modèle d'origine nécessitent plus de 10 itérations pour converger. Pour cette raison, les modèles ARIMA ne peuvent pas être identifiés par une approche quotback stepwisequot qui inclut les termes AR et MA. En d'autres termes, vous ne pouvez pas commencer par inclure plusieurs termes de chaque type, puis jeter ceux dont les coefficients estimés ne sont pas significatifs. Au lieu de cela, vous suivez normalement une approche quotforward stepwisequot, en ajoutant des termes d'un type ou l'autre comme indiqué par l'apparition des tracés ACF et PACF. Racines unitaires: Si une série est grossièrement sous-ou surdifférenciée - c'est-à-dire. Si un ordre entier de différenciation doit être ajouté ou annulé, cela est souvent signalé par une racine quotunit dans les coefficients AR ou MA estimés du modèle. Un modèle AR (1) est dit avoir une racine unitaire si le coefficient estimé AR (1) est presque exactement égal à 1. (Par citation exactement égale, je veux vraiment dire pas significativement différent de. En termes de coefficients propre erreur standard. ) Lorsque cela se produit, cela signifie que le terme AR (1) imite exactement une première différence, auquel cas vous devez supprimer le terme AR (1) et ajouter un ordre de différenciation à la place. (C'est exactement ce qui se produirait si vous avez équipé un modèle AR (1) à la série UNITS non différenciée, comme indiqué précédemment). Dans un modèle d'ordre supérieur, une racine unitaire existe dans la partie AR du modèle si la somme de Les coefficients AR sont exactement égaux à 1. Dans ce cas, vous devez réduire l'ordre du terme AR par 1 et ajouter un ordre de différenciation. Une série temporelle avec une racine unitaire dans les coefficients AR est non stationnaire - ie. Il faut un ordre plus élevé de différenciation. Règle 9: S'il y a une racine unitaire dans la partie AR du modèle - c'est-à-dire. Si la somme des coefficients AR est presque exactement 1 - vous devriez réduire le nombre de termes AR par un et augmenter l'ordre de différenciation par un. De même, on dit qu'un modèle MA (1) a une racine unitaire si le coefficient MA (1) estimé est exactement égal à 1. Lorsque cela se produit, cela signifie que le terme MA (1) annule exactement une première différence, en Dans ce cas, vous devez supprimer le terme MA (1) et également réduire l'ordre de différenciation par un. Dans un modèle MA d'ordre supérieur, une racine unitaire existe si la somme des coefficients MA est exactement égale à 1. Règle 10: S'il y a une racine unitaire dans la partie MA du modèle - c.-à-d. Si la somme des coefficients MA est presque exactement 1 - vous devriez réduire le nombre de termes MA par un et réduire l'ordre de différenciation par un. Par exemple, si vous ajustez un modèle de lissage exponentiel linéaire (un modèle ARIMA (0,2,2)) quand un simple modèle de lissage exponentiel (un modèle ARIMA (0,1,1) aurait été suffisant, La somme des deux coefficients MA est très près égale à 1. En réduisant l'ordre MA et l'ordre de différenciation par un chacun, vous obtenez le modèle SES plus approprié. Un modèle de prévision avec une racine unitaire dans les coefficients estimés de MA est dit noninvertible. Ce qui signifie que les résidus du modèle ne peuvent pas être considérés comme des estimations du bruit aléatoire quottruequot qui a généré la série chronologique. Un autre symptôme d'une racine unitaire est que les prévisions du modèle peuvent quotblow upquot ou se comportent autrement bizarrement. Si le graphique chronologique des prévisions à long terme du modèle semble étrange, vérifiez les coefficients estimés de votre modèle pour la présence d'une racine unitaire. Règle 11: Si les prévisions à long terme semblent erratiques ou instables, il peut y avoir une racine unitaire dans les coefficients AR ou MA. Aucun de ces problèmes n'est apparu avec les deux modèles ici, car nous avons pris soin de commencer par des ordres plausibles de différenciation et un nombre approprié de coefficients AR et MA en étudiant les modèles ACF et PACF. On trouvera des explications plus détaillées sur les racines unitaires et les effets d'annulation entre les termes AR et MA dans le document Structure mathématique des modèles ARIMA. Introduction à ARIMA: modèles non saisonniers Équation de prévision ARIMA (p, d, q): Les modèles ARIMA sont, La classe la plus générale de modèles pour prévoir une série temporelle qui peut être rendue 8220stationnaire8221 par différenciation (si nécessaire), peut-être en conjonction avec des transformations non linéaires telles que l'abattage ou le dégonflage (si nécessaire). Une variable aléatoire qui est une série temporelle est stationnaire si ses propriétés statistiques sont toutes constantes dans le temps. Une série stationnaire n'a pas de tendance, ses variations autour de sa moyenne ont une amplitude constante, et elle se balance d'une manière cohérente. C'est-à-dire que ses schémas de temps aléatoires à court terme ont toujours la même signification statistique. Cette dernière condition signifie que ses autocorrélations (corrélations avec ses propres écarts précédents par rapport à la moyenne) restent constantes dans le temps, ou de manière équivalente, que son spectre de puissance reste constant dans le temps. Une variable aléatoire de cette forme peut être considérée (comme d'habitude) comme une combinaison de signal et de bruit, et le signal (si l'on est apparent) pourrait être un modèle de réversion moyenne rapide ou lente, ou oscillation sinusoïdale, ou alternance rapide de signe , Et il pourrait également avoir une composante saisonnière. Un modèle ARIMA peut être considéré comme un 8220filter8221 qui essaie de séparer le signal du bruit, et le signal est ensuite extrapolé dans l'avenir pour obtenir des prévisions. L'équation de prévision d'ARIMA pour une série temporelle stationnaire est une équation linéaire (c'est-à-dire de type régression) dans laquelle les prédicteurs sont constitués par des décalages de la variable dépendante et / ou des décalages des erreurs de prévision. Valeur prédite de Y une constante et / ou une somme pondérée d'une ou plusieurs valeurs récentes de Y et / ou d'une somme pondérée d'une ou plusieurs valeurs récentes des erreurs. Si les prédicteurs se composent uniquement de valeurs décalées de Y. il s'agit d'un modèle autoregressif pur (8220 auto-régressé8221), qui est juste un cas particulier d'un modèle de régression et qui pourrait être équipé d'un logiciel de régression standard. Par exemple, un modèle autorégressif de premier ordre (8220AR (1) 8221) pour Y est un modèle de régression simple dans lequel la variable indépendante est juste Y retardée d'une période (LAG (Y, 1) dans Statgraphics ou YLAG1 dans RegressIt). Si certains des prédicteurs sont des retards des erreurs, un modèle ARIMA, il n'est pas un modèle de régression linéaire, car il n'y a aucun moyen de spécifier 8220last période8217s error8221 comme une variable indépendante: les erreurs doivent être calculées sur une période à période de base Lorsque le modèle est adapté aux données. Du point de vue technique, le problème de l'utilisation d'erreurs retardées comme prédicteurs est que les prédictions du modèle 8217 ne sont pas des fonctions linéaires des coefficients. Même s'ils sont des fonctions linéaires des données passées. Ainsi, les coefficients dans les modèles ARIMA qui incluent des erreurs retardées doivent être estimés par des méthodes d'optimisation non linéaires (8220hill-climbing8221) plutôt que par la simple résolution d'un système d'équations. L'acronyme ARIMA signifie Auto-Regressive Integrated Moving Average. Les Lags de la série stationnaire dans l'équation de prévision sont appelés termes contingentoréducteurs, les retards des erreurs de prévision sont appelés quotmoving averagequot terms et une série chronologique qui doit être différenciée pour être stationnaire est dite être une version quotintegratedquot d'une série stationnaire. Les modèles de Random-Walk et de tendance aléatoire, les modèles autorégressifs et les modèles de lissage exponentiel sont des cas particuliers de modèles ARIMA. Un modèle ARIMA non saisonnier est classé comme un modèle quotARIMA (p, d, q), où: p est le nombre de termes autorégressifs, d est le nombre de différences non saisonnières nécessaires pour la stationnarité, et q est le nombre d'erreurs de prévision retardées dans L'équation de prédiction. L'équation de prévision est construite comme suit. En premier lieu, y désigne la différence d ème de Y. ce qui signifie: Notez que la deuxième différence de Y (le cas d2) n'est pas la différence de 2 périodes. Au contraire, c'est la première différence de la première différence. Qui est l'analogue discret d'une seconde dérivée, c'est-à-dire l'accélération locale de la série plutôt que sa tendance locale. En termes de y. L'équation de prévision générale est: Ici, les paramètres de la moyenne mobile (9528217s) sont définis de sorte que leurs signes soient négatifs dans l'équation, suivant la convention introduite par Box et Jenkins. Certains auteurs et logiciels (y compris le langage de programmation R) les définissent de sorte qu'ils ont des signes plus à la place. Lorsque les nombres réels sont branchés dans l'équation, il n'y a pas d'ambiguïté, mais il est important de savoir quelle convention votre logiciel utilise lorsque vous lisez la sortie. Souvent, les paramètres y sont indiqués par AR (1), AR (2), 8230 et MA (1), MA (2), 8230, etc. Pour identifier le modèle ARIMA approprié pour Y. vous commencez par déterminer l'ordre de différenciation D) le besoin de stationner la série et de supprimer les caractéristiques brutes de la saisonnalité, peut-être en conjonction avec une transformation de stabilisation de la variance telle que l'abattage ou le dégonflage. Si vous vous arrêtez à ce point et que vous prédisez que la série différenciée est constante, vous avez simplement mis en place une marche aléatoire ou un modèle de tendance aléatoire. Cependant, la série stationnaire peut toujours avoir des erreurs autocorrélées, ce qui suggère qu'un certain nombre de termes AR (p 8805 1) et / ou certains termes MA (q 8805 1) sont également nécessaires dans l'équation de prévision. Le processus de détermination des valeurs de p, d et q qui sont les meilleurs pour une série temporelle donnée sera discuté dans des sections ultérieures des notes (dont les liens sont en haut de cette page), mais un aperçu de certains des types Des modèles non saisonniers ARIMA qui sont couramment rencontrés est donné ci-dessous. ARIMA (1,0,0) modèle autorégressif de premier ordre: si la série est stationnaire et autocorrélée, peut-être peut-elle être prédite comme un multiple de sa propre valeur précédente, plus une constante. L'équation de prévision dans ce cas est 8230 qui est Y régressée sur elle-même décalée d'une période. Il s'agit d'un 8220ARIMA (1,0,0) constant8221 modèle. Si la moyenne de Y est nulle, alors le terme constant ne serait pas inclus. Si le coefficient de pente 981 1 est positif et inférieur à 1 dans l'amplitude (il doit être inférieur à 1 dans l'amplitude si Y est stationnaire), le modèle décrit le comportement de réverbération moyen dans lequel la valeur de la prochaine période doit être prédite 981 fois Loin de la valeur moyenne de cette période. Si 981 1 est négatif, il prédit un comportement de réversion moyenne avec l'alternance des signes, c'est-à-dire qu'il prédit également que Y sera inférieur à la moyenne de la période suivante si elle est supérieure à la moyenne de cette période. Dans un modèle autorégressif du second ordre (ARIMA (2,0,0)), il y aurait un terme Y t-2 sur la droite aussi, et ainsi de suite. Selon les signes et les grandeurs des coefficients, un modèle ARIMA (2,0,0) pourrait décrire un système dont la réversion moyenne se fait d'une manière oscillatoire sinusoïdale, comme le mouvement d'une masse sur un ressort soumis à des chocs aléatoires . Randonnée aléatoire ARIMA (0,1,0): Si la série Y n'est pas stationnaire, le modèle le plus simple possible est un modèle de marche aléatoire, qui peut être considéré comme un cas limite d'un modèle AR (1) dans lequel le modèle autorégressif Coefficient est égal à 1, c'est-à-dire une série à réversion moyenne infiniment lente. L'équation de prédiction pour ce modèle peut s'écrire: où le terme constant est le changement moyen de période à période (c'est-à-dire la dérive à long terme) dans Y. Ce modèle pourrait être adapté comme un modèle de régression sans interception dans lequel La première différence de Y est la variable dépendante. Comme il comprend une différence non saisonnière et un terme constant, il est classé en tant que modèle de type ARIMA (0,1,0) avec constant. quot Le modèle aléatoire-sans-dérive serait un ARIMA (0,1, 0) modèle sans modèle constant autorimétrique ARIMA (1,1,0) différencié: Si les erreurs d'un modèle de marche aléatoire sont autocorrélées, peut-être le problème peut-il être fixé en ajoutant un décalage de la variable dépendante à l'équation de prédiction - - c'est à dire En faisant régresser la première différence de Y sur elle-même décalée d'une période. Cela donnerait l'équation de prédiction suivante: qui peut être réarrangée à. Ceci est un modèle autorégressif de premier ordre avec un ordre de différenciation non saisonnière et un terme constant - c'est-à-dire. Un modèle ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) sans lissage exponentiel simple constant: Une autre stratégie pour corriger les erreurs autocorrélées dans un modèle de marche aléatoire est suggérée par le modèle de lissage exponentiel simple. Rappelons que pour certaines séries temporelles non stationnaires (par exemple celles qui présentent des fluctuations bruyantes autour d'une moyenne variable lentement), le modèle de marche aléatoire n'obtient pas une moyenne mobile des valeurs passées. En d'autres termes, plutôt que de prendre l'observation la plus récente comme la prévision de la prochaine observation, il est préférable d'utiliser une moyenne des dernières observations afin de filtrer le bruit et de mieux estimer la moyenne locale. Le modèle de lissage exponentiel simple utilise une moyenne mobile exponentiellement pondérée des valeurs passées pour obtenir cet effet. L'équation de prédiction pour le modèle de lissage exponentiel simple peut être écrite en un certain nombre de formes mathématiquement équivalentes. Dont l'une est la forme dite de correction d'erreur 8221, dans laquelle la prévision précédente est ajustée dans la direction de l'erreur qu'elle a faite: Comme e t-1 Y t-1 - 374 t-1 par définition, ceci peut être réécrit comme : Qui est une équation de prévision ARIMA (0,1,1) sans constante avec 952 1 1 - 945. Cela signifie que vous pouvez ajuster un lissage exponentiel simple en le spécifiant comme un modèle ARIMA (0,1,1) sans Constante, et le coefficient MA (1) estimé correspond à 1-moins-alpha dans la formule SES. Rappelons que dans le modèle SES, l'âge moyen des données dans les prévisions de 1 période à venir est de 1 945. ce qui signifie qu'elles auront tendance à être en retard par rapport aux tendances ou aux points de retournement d'environ 1 945 périodes. Il s'ensuit que l'âge moyen des données dans les prévisions à 1 période d'un modèle ARIMA (0,1,1) sans modèle constant est de 1 (1 - 952 1). Ainsi, par exemple, si 952 1 0.8, l'âge moyen est 5. Alors que 952 1 approche de 1, le modèle ARIMA (0,1,1) sans constante devient une moyenne mobile à très long terme et 952 1 Approche 0, il devient un modèle aléatoire-marche-sans-dérive. Dans les deux modèles précédents décrits ci-dessus, le problème des erreurs autocorrélées dans un modèle de marche aléatoire a été fixé de deux manières différentes: en ajoutant une valeur décalée de la série différenciée À l'équation ou en ajoutant une valeur décalée de l'erreur de prévision. Quelle approche est la meilleure Une règle de base pour cette situation, qui sera discutée plus en détail plus tard, est que l'autocorrélation positive est le mieux traitée en ajoutant un terme AR au modèle et l'autocorrélation négative est généralement mieux traitée en ajoutant un Terme MA. Dans les séries économiques et économiques, l'autocorrélation négative apparaît souvent comme un artefact de différenciation. (En général, la différenciation réduit l'autocorrélation positive et peut même provoquer un basculement de l'autocorrélation positive à négative.) Ainsi, le modèle ARIMA (0,1,1), dans lequel la différenciation est accompagnée d'un terme MA, est plus souvent utilisé qu'un Modèle ARIMA (1,1,0). ARIMA (0,1,1) avec lissage exponentiel simple et constant avec croissance: En implémentant le modèle SES en tant que modèle ARIMA, vous gagnez en fait une certaine souplesse. Tout d'abord, le coefficient de MA (1) estimé peut être négatif. Cela correspond à un facteur de lissage supérieur à 1 dans un modèle SES, ce qui n'est généralement pas autorisé par la procédure de montage du modèle SES. Deuxièmement, vous avez la possibilité d'inclure un terme constant dans le modèle ARIMA si vous le souhaitez, afin d'estimer une tendance moyenne non nulle. Le modèle ARIMA (0,1,1) avec constante a l'équation de prédiction: Les prévisions à une période de ce modèle sont qualitativement similaires à celles du modèle SES, sauf que la trajectoire des prévisions à long terme est typiquement un (Dont la pente est égale à mu) plutôt qu'une ligne horizontale. ARIMA (0,2,1) ou (0,2,2) sans lissage exponentiel linéaire constant: Les modèles de lissage exponentiel linéaire sont des modèles ARIMA qui utilisent deux différences non saisonnières en conjonction avec des termes MA. La seconde différence d'une série Y n'est pas simplement la différence entre Y et elle-même retardée par deux périodes, mais plutôt c'est la première différence de la première différence - i. e. Le changement de la variation de Y à la période t. Ainsi, la deuxième différence de Y à la période t est égale à (Y t - Y t-1) - (Y t-1 - Y t-2) Y t - 2Y t-1 Y t-2. Une seconde différence d'une fonction discrète est analogue à une dérivée seconde d'une fonction continue: elle mesure la quotation ou la quotcurvature dans la fonction à un moment donné. Le modèle ARIMA (0,2,2) sans constante prédit que la seconde différence de la série est égale à une fonction linéaire des deux dernières erreurs de prévision: qui peuvent être réarrangées comme: où 952 1 et 952 2 sont les MA (1) et MA (2) coefficients. Il s'agit d'un modèle de lissage exponentiel linéaire général. Essentiellement le même que le modèle Holt8217s, et le modèle Brown8217s est un cas spécial. Il utilise des moyennes mobiles exponentiellement pondérées pour estimer à la fois un niveau local et une tendance locale dans la série. Les prévisions à long terme de ce modèle convergent vers une droite dont la pente dépend de la tendance moyenne observée vers la fin de la série. ARIMA (1,1,2) sans lissage exponentiel linéaire à tendance amortie constante. Ce modèle est illustré dans les diapositives accompagnant les modèles ARIMA. Il extrapole la tendance locale à la fin de la série, mais l'aplatit à des horizons de prévision plus longs pour introduire une note de conservatisme, une pratique qui a un soutien empirique. Voir l'article sur Quest pourquoi la Tendance amortie travaille par Gardner et McKenzie et l'article de Golden Rulequot par Armstrong et al. Pour plus de détails. Il est généralement conseillé de s'en tenir à des modèles dans lesquels au moins l'un de p et q n'est pas supérieur à 1, c'est-à-dire ne pas essayer d'adapter un modèle tel que ARIMA (2,1,2), car cela entraînera vraisemblablement un overfitting Et quotcommon-factorquot qui sont discutés plus en détail dans les notes sur la structure mathématique des modèles ARIMA. Implémentation de la feuille de calcul: Les modèles ARIMA tels que ceux décrits ci-dessus sont faciles à mettre en œuvre sur une feuille de calcul. L'équation de prédiction est simplement une équation linéaire qui fait référence aux valeurs passées des séries temporelles originales et des valeurs passées des erreurs. Ainsi, vous pouvez configurer une table de prévision ARIMA en stockant les données dans la colonne A, la formule de prévision dans la colonne B et les erreurs (données moins les prévisions) dans la colonne C. La formule de prévision dans une cellule typique de la colonne B serait tout simplement Une expression linéaire faisant référence aux valeurs des lignes précédentes des colonnes A et C multipliées par les coefficients AR ou MA appropriés stockés dans des cellules ailleurs sur la feuille de calcul.